Dinic算法 | hkr04‘s blogs

$\text{Dinic}$ 相对 $\text{EK}$ 的高效之处在于运用了分层图(即由满足 $\text{dep[v]=dep[u]+1}$ 的边 $(u,v)$ 构成的子图，为有向无环图)，当考虑流向的点在分层图中深度比当前点大1 时才向那个点走，去尝试找增广路。不用担心联通性可能在这个分层图中被破坏，它在之后的分层中还是会考虑到的；不需要在意这条增广路是否为最优，只要走就是了，反正还是有反悔的机会的。
时间复杂度: $O(n^2m)$ ，实际运用远达不到这个上界，一般能处理 $10^4$ ~ $10^5$ 规模的网络。

怎么实现呢？

在残量网络上使用BFS构造分层图
在分层图上使用DFS尝试寻找增广路，并且实时更新每条边的容量
重复执行1.2直到分层图中s不能到达t（没有增广路）为止

在优化 $\text{BFS}$ 次数之后，我们还可以进行优化——当前弧优化。

对于在不同的分层图进行 $\text{DFS}$ 的过程中，不重复走之前走过的满流的边，因为再走下去终究会卡住，是白做工。可以用一个数组 $\text{cur}$ 记录一下当前点更新到哪条边了，具体看代码。

最大流

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn=10000+10;
const int maxm=100000+10;
const int INF=0x3f3f3f3f; 
int cur[maxn],head[maxn],nxt[maxm<<1],to[maxm<<1],val[maxm<<1];//因为还要存反向边，所以要开两倍 
int dep[maxn],inq[maxn];
int n,m,s,t;
int tot=1;
struct Queue
{
	int a[maxn];
	int l,r;
	Queue() {l=1,r=0;}
	void push(int x) {a[++r]=x;}
	void pop() {l++;}
	int front() {return a[l];}
	bool empty() {return l>r;}
}q;

inline int min(int x,int y) {return x<y?x:y;}
void add(int u,int v,int w)
{
    nxt[++tot]=head[u];
    head[u]=tot;
    to[tot]=v;
    val[tot]=w;
}
bool bfs()
{
    memset(dep, 0x3f, sizeof(dep));
    dep[s]=0;
    q=Queue();
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for (int i=head[u];i;i=nxt[i])
        {
            int v=to[i];//通向的点 
            if (val[i]&&dep[v]>dep[u]+1)//如果容量不为0且在u点之前还没有被搜到
            {
                dep[v]=dep[u]+1;
                q.push(v);
            }
        } 
    }
    return dep[t]<INF;//只要汇点被搜到了，就还有增广路 
}
int dfs(int u,int minf)//当前位置和目前搜到的最小剩余容量
{
    if (u==t)//到达汇点
        return minf;//返回值不为0即说明可以增广

    int used=0;//该点已经使用了的流量
    for (int &i=cur[u];i;i=nxt[i])//这里取址是顺便更新cur
    {
        int v=to[i];
        if (val[i]&&dep[v]==dep[u]+1)
        {
        	int flow=dfs(v, min(minf-used, val[i]));//能流到t的流量 
            if (flow)
            {
                used+=flow;
                val[i]-=flow;
                val[i^1]+=flow;
                if (used==minf)//该点已达最大流量，不用继续找了 
                    break; 
            }
        }
     }
     return used;//返回该点已使用流量 
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u, v, w),add(v, u, 0);
    }
    int flag=0,maxflow=0; 
    while(bfs())
    {
    	for (int i=1;i<=n;i++)//新的分层图要重新开始
    		cur[i]=head[i];
    	maxflow+=dfs(s, INF);
    }
    printf("%d\n",maxflow);
    return 0;
}

最小费用最大流

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using std::queue;
typedef long long ll;
const int maxn=5e3+10;
const int maxm=5e4+10;
const ll INF=1LL<<60;
ll val[maxm<<1],cost[maxm<<1],dis[maxn];
int cur[maxn],head[maxn],to[maxm<<1],nxt[maxm<<1];
int tot=1;
int n,m,s,t;
bool vis[maxn],inq[maxn];
queue<int> q;

ll min(ll x,ll y) {return x<y?x:y;}
void add(int u,int v,ll w,ll c)
{
	nxt[++tot]=head[u];
	head[u]=tot;
	to[tot]=v;
	val[tot]=w;
	cost[tot]=c;
}
bool SPFA()
{
	for (int i=1;i<=n;i++)
		dis[i]=INF;
	dis[s]=0;
	inq[s]=1;
	q.push(s);
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		inq[u]=0;
		for (int i=head[u];i;i=nxt[i])
		{
			int v=to[i];
			if (val[i]&&dis[v]>dis[u]+cost[i])
			{
				dis[v]=dis[u]+cost[i];
				if (!inq[v])
				{
					inq[v]=1;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
	return dis[t]!=INF;
}
ll dfs(int u,ll minf)
{
	if (u==t)
		return minf;

	vis[u]=1;
	ll used=0;
	for (int &i=cur[u];i;i=nxt[i])
	{
		int v=to[i];
		if (!vis[v]&&val[i]&&dis[v]==dis[u]+cost[i])
		{
			ll flow=dfs(v, min(minf-used, val[i]));
			if (flow)
			{
				used+=flow;
				val[i]-=flow;
				val[i^1]+=flow;
				if (used==minf)
					break;
			}
		}
	}
	vis[u]=0;
	return used;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v;
		ll w,c;
		scanf("%d%d%lld%lld",&u,&v,&w,&c);
		add(u, v, w, c),add(v, u, 0, -c);
	}
	ll ans=0,maxflow=0;
	while(SPFA())
	{
		for (int i=1;i<=n;i++)
			cur[i]=head[i];
		ll flow=dfs(s, INF);
		maxflow+=flow;
		ans+=dis[t]*flow;
	}
	printf("%lld %lld\n",maxflow,ans);
	return 0;
}